极限

实数

自然数和整数

自然数是指集合 , 满足以下性质：

归纳公理是指若 满足:

则 .

最小数原理.

, 则 中一定存在最小数.

证明:

因为 ,
则 有限非空, 原命题成立.
由此我们可以得到一个重要的数学方法: 数学归纳法

数学归纳法.

设有命题 , 满足:

则 成立.

证明:

若存在 使 都使得 不成立.
由最小数原理, 存在最小数 使 不成立.
由于 成立, , 因此 成立, 得到 成立, 即 , 矛盾.

无限集合

有关定义

存在映射 , .
如果 , 则 , 则称之为单射;
如果 使得 , 则称之为满射;
如果 一个映射既使单射也是满射, 则称之为一一映射, 也称双射.

设有集合 , 若 之间存在双射, 则称二者拥有相同的基数,
若 之间存在从 到 的非单射的的满射, 则称 的基数大于 的基数,
称 的基数是 "可数的", 若 与 之间存在从 到 的满射, 则称是无限集合, 其基数也是"可数的", 若 与 之间存在双射, 则称 为有限集合, 基数为 .

性质

若存在双射 , 则 一定可数;
有限集与可数集的并一定可数;
可数集与可数集的并一定可数;
可数个可数集的并一定可数.
因此我们知道, 可数.

定义运算 , 若 都可数, 则 可数.
定义一个集合 的幂集 为由该集合全部子集为元素构成的集合, 则若 基数为 , 则 的基数为 . 定义 的基数为 "不可数的".

有理数

定义有理数 . 有理数满足以下性质: